Урок 01
Группа — набор объектов и способ их «перемножать», при котором есть единица, обратные элементы и ассоциативность. Ниже — определение и три интерактива.
Пусть G — непустое множество, а · — бинарная операция на G (правило, которое двум элементам сопоставляет третий). Пара (G, ·) называется группой, если выполнены четыре аксиомы:
Для любых a, b ∈ G произведение a · b снова лежит в G.
(a · b) · c = a · (b · c) для всех a, b, c ∈ G.
Существует e ∈ G такое, что a · e = e · a = a для любого a.
Для каждого a есть a⁻¹ ∈ G с a · a⁻¹ = a⁻¹ · a = e.
∀ a,b ∈ G: a·b ∈ G;
(a·b)·c = a·(b·c);
∃ e: a·e = e·a = a;
∃ a⁻¹: a·a⁻¹ = e
Примеры ниже: C₄ и C₅ (сложение по модулю), S₃ (перестановки), D₃ и D₄ (симметрии треугольника и квадрата).
Вся конечная группа помещается в таблицу умножения: строка a, столбец b → ячейка a · b. По таблице видно единицу, обратные и (пошагово) ассоциативность.
Что смотреть:
Кликните ячейку — увидите произведение a · b.
Cₙ = {0, 1, …, n−1} со сложением по модулю n. Это «часы» с n делениями: генератор 1 сдвигает текущий элемент на один шаг.
Что смотреть:
Dₙ — все симметрии правильного n-угольника: n поворотов и n отражений. Порождается поворотом r на 2π/n и отражением s. Соотношения: rⁿ = e, s² = e, s r s = r⁻¹.
Что смотреть:
Клавиши r, s, e — когда фокус не в поле ввода. Проверка: из e нажми r, затем s — треугольник зеркалится вдоль пунктира, а не «ломается».